√2 এবং √3 অমূলদ সংখ্যা

প্রমানঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা

প্রতিজ্ঞাঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধানঃ

আমরা জানি, 1 < 2 < 4

বা, √1 < √2 < √4

বা, 1 < √2 < 2

সুতরাং, √2 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট।

অতএব, √2 পূর্ণ সংখ্যা নয়।

সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।

যদি, √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,

ধরি, √2 = $frac{p}{q}$ ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

বা, 2 = $frac{p^{2}}{q^{2}}$ [বর্গ করে]

বা, 2 q = $frac{p^{2}}{q}$ [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]

স্পষ্টত, 2 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, $frac{p^{2}}{q}$ পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1

সুতরাং, 2 q এবং $frac{p^{2}}{q}$ সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 2 q ≠ $frac{p^{2}}{q}$ .

সুতরাং, √2 এর মান $frac{p}{q}$ আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।

অর্থাৎ, √2 ≠ $frac{p}{q}$ .

সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা নয়।

$herefore$ √2 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)

কিছু গুরুত্বপূর্ণ কৌশলঃ

এই প্রতিজ্ঞা প্রমাণে, প্রথম লাইন কীভাবে শুরু করা যেতে পারে? কৌশল হলঃ যেহেতু √2 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে হবে, তাই এক্ষেত্রে, মনে মনে √ বাদ দিয়ে শুধুমাত্র 2 সংখ্যাটি বিবেচনা করতে হবে। এরপর 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা চিন্তা করতে হবে। নিচে বর্গ সংখ্যার নামতা দেয়া হল...

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

4 x 4 = 16

5 x 5 = 25

6 x 6 = 36

… ইত্যাদি

দেখা যাচ্ছে, 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা 1 ও 4.

তাহলে প্রথম লাইন আমরা শুরু করবো, 1 < 2 < 4 এভাবে...

যদি, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে বলে, তাহলে প্রথম লাইনটি হবে,

4 < 7 < 9