প্রমানঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা
প্রতিজ্ঞাঃ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
আমরা জানি, 1 < 2 < 4
বা, √1 < √2 < √4
বা, 1 < √2 < 2
সুতরাং, √2 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √2 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √2 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √2 = ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
বা, 2 = [বর্গ করে]
বা, 2 q = [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 2 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 2 q এবং সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 2 q ≠
.
সুতরাং, √2 এর মান আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √2 ≠ .
সুতরাং, √2 মূলদ সংখ্যা নয়।
√2 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
কিছু গুরুত্বপূর্ণ কৌশলঃ
এই প্রতিজ্ঞা প্রমাণে, প্রথম লাইন কীভাবে শুরু করা যেতে পারে? কৌশল হলঃ যেহেতু √2 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে হবে, তাই এক্ষেত্রে, মনে মনে √ বাদ দিয়ে শুধুমাত্র 2 সংখ্যাটি বিবেচনা করতে হবে। এরপর 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা চিন্তা করতে হবে। নিচে বর্গ সংখ্যার নামতা দেয়া হল...
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
… ইত্যাদি
দেখা যাচ্ছে, 2 এর ঠিক আগের ও পরের বর্গ সংখ্যা 1 ও 4.
তাহলে প্রথম লাইন আমরা শুরু করবো, 1 < 2 < 4 এভাবে...
যদি, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা প্রমাণ করতে বলে, তাহলে প্রথম লাইনটি হবে,
4 < 7 < 9
প্রতিজ্ঞাঃ √3 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
আমরা জানি, 1 < 3 < 4
বা, √1 < √3 < √4
বা, 1 < √3 < 2
সুতরাং, √3 এর মান 1 অপেক্ষা বড় এবং 2 অপেক্ষা ছোট।
অতএব, √3 পূর্ণ সংখ্যা নয়।
সুতরাং, √3 মূলদ সংখ্যা অথবা অমূলদ সংখ্যা।
যদি, √3 মূলদ সংখ্যা হয় তবে,
ধরি, √3 = ; যেখানে p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
বা, 3 = [বর্গ করে]
বা, 3q = [উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুন করে]
স্পষ্টত, 3 q পূর্ণ সংখ্যা। কিন্তু, পূর্ণ সংখ্যা নয় কারণ, p ও q উভয়ই স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 3 q এবং সমান হতে পারে না, অর্থাৎ, 3 q ≠
.
সুতরাং, √3 এর মান আকারের কোনও সংখ্যাই হতে পারে না।
অর্থাৎ, √3 ≠ .
সুতরাং, √3 মূলদ সংখ্যা নয়।
√3 অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
